自然数求和

小事

什么？

$$1+2+3+\dots=-\dfrac{1}{12}$$

简单理解

什么乱七八糟的。

$1$ 是正数，$2$ 是正数，$3$ 是正数，……加起来能是负的？

$1$ 是整数，$2$ 是整数，……加起来能是分数？xswl

上一层次

其实有点道理对吧，毕竟什么

$$1-1+1-1+1-1+\dots=\dfrac{1}{2}$$

证明：首先这个可以解释成 $\dfrac{1}{2}$。

其次我们要解释它不能写成啥 $1-(1-1)-(1-1)$ 或者啥 $(1-1)+(1-1)$。

为啥不能加括号？发散级数是不能随意加括号的！因为它不能任意的改变运算顺序。

级数 $(1-1)+(1-1)+(1-1)$ 是一个收敛级数，它是可以任意计算的，因为它最终会收敛到一个确定的极限值。

而原来这个东西不能收敛到一个确定的值，因此我们不能随意计算。

这种鬼东西都能被搞出来，也不能保证这个东西一定是错的对吧。

我们不妨设 $A=1-1+1-1+\dots=\dfrac{1}{2}$。现在我们考虑计算

$$B=1-2+3-4+5-6+\dots$$

考虑

$$\begin{aligned} B&=1-2+3-4+5-6+\dots\\ B&=\qquad\!\!1-2+3-4+5-\dots\\ B+B&=1-1+1-1+1-1+\dots=A=\dfrac{1}{2}\\ B&=\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$

最后考虑我们的答案，即 $C=1+2+3+4+5+\dots$。

$$\begin{aligned} C&=1+2+3+4+\dots\\ -B&=-1+2-3+4-\dots\\ C-B&=4+8+12+16+\dots=4C\\ C&=-\dfrac{1}{12} \end{aligned}$$

震惊.jpg

拓展视野

不仅这东西能推出来，甚至在实际的物理学上还有意义！这又是怎么一回事呢？

这就要提到一个叫做卡西米尔效应的问题。可能学过物竞的同学知道

回过去看

什么乱七八糟的。

我们可以引入一个关于级数收敛的事情，就是说：

$$1-1+1-1+1-1+\dots$$

的证明过程里对发散级数求了收敛值。这怎么能对呢？

同样，最后那个 $C$ 的值也肯定是错的，小学生都知道那个级数发散凭啥能对。

拓展视野

我在昨天晚上看到了两个说明 $1-1+1-1+\dots=\dfrac{1}{2}$ 的证明。事实上这个值还是有一些意义的

1.切萨罗法求发散级数和

这算是对发散级数的一个补充吧。

我们不妨定义 $a_0=1,a_1=-1,\dots,a_n=(-1)^n$。

再定义 $s_0=a_0,s_1=a_0+a_1,\dots,s_n=a_0+a_1+\dots+a_n$。

再定义 $\sigma_0=s_0,\sigma_1=\dfrac{s_0+s_1}{2},\dots,\sigma_n=\dfrac{s_0+s_1+\dots+s_n}{n+1}$。

而切萨罗法认为，如果 $n\to\infty$ 时，$\sigma_n$ 极限存在，就将 $\sigma_n$ 的极限称作切萨罗和。

而原数列的切萨罗和就是 $\dfrac{1}{2}$。

2.母函数求法

什么是母函数？

通俗的来说，对于数列 $\left$，可以生成一个形式幂级数函数 $A(z)$：

$$A(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$$

我们考虑将原数列的母函数搞出来：

$$F(z)=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kz^k=\sum_{k=0}^\infty(-z)^k$$

可以得到公式

$$\begin{aligned} (-z)F(z)&=\sum_{k=1}^\infty (-z)^k\\ (-z)F(z)+1&=\sum_{k=0}^\infty(-z)^k=F(z)\\ F(z)&=\dfrac{1}{1+z} \end{aligned}$$

直接将 $z=1$ 代入得到 $F(1)=\dfrac{1}{2}$。

那为啥自然数的和就不行？

我们试着用母函数做一做 $B,C$。

小知识

$$B(z)=\dfrac{1}{(1+z)^2}$$ $$C(z)=\dfrac{1}{(1-z)^2}$$

还是一样，我们将 $z=1$ 代入，得到……

$$B=\dfrac{1}{4},C=\dfrac{1}{0}?$$

寄！

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为什么 $A,B$ 利用母函数可以得到一个值而 $C$ 却没有定义。

XD XD XD 我也没找到啊！！！！！！！！！

拓展视野

呃其实还是有意义的。

一个著名的函数 $\zeta(z)$，黎曼函数是这样定义的：

$$\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^z}\quad(\Re(z)>1)$$

诶呀不管怎么着好像是将它进行解析沿拓之后就发现 $\zeta(-1)=-\dfrac{1}{12}$ 了，也没法再清楚了。

总结

简单来说，这个问题是错的。

稍微深层次一点，就能发现这个问题不仅是对的而且还有非常实际的物理意义。

再看深一点，你会发现这个问题似乎还是一个没有很良定义的问题。

最后，到了高等数学的范畴，你又能为这个问题找到一个合理的解释，并且将它应用在实际、完善数学的体系。

总而言之，这个问题，有人说它洞察数学的奥妙，有人说它荒谬至极，物理学家赞叹它的不可思议，数学家们却为它煞费苦心。

$$\sum_{k=1}^\infty k\overset{\underset{?}{}}{=}-\dfrac{1}{12}$$

参考资料

• Bilibili《全体自然数之和等于-1/12？真相远没有那么简单！》by 漫士沉思录&乐正垂星 Link

• BiliBili《【官方双语】巴塞尔问题：著名公式背后的惊人几何学》by 3Blue1Brown Link

• 百度百科 拉马努金求和 Link

• Wolframalpha $\zeta(z)$ Link

• 百家号《洞察素数的秘密，黎曼猜想与zeta函数》by 遇见数学 Link

• 哦，还有这篇文章，没有它我写不出来这篇文章。

最后

谢谢大家！